Matemática básica Ejemplos

$\frac{3 a}{a^{2} - 4 a - 5} + \frac{4}{a^{2} - 9 a + 20}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza $a^{2} - 4 a - 5$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $- 4$ .

$- 5, 1$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)} + \frac{4}{a^{2} - 9 a + 20}$

Paso 1.2

Factoriza $a^{2} - 9 a + 20$ con el método AC.

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Paso 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $20$ y cuya suma es $- 9$ .

$- 5, - 4$

Paso 1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)} + \frac{4}{(a - 5) (a - 4)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a - 4}{a - 4}$ .

$\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)} \cdot \frac{a - 4}{a - 4} + \frac{4}{(a - 5) (a - 4)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{4}{(a - 5) (a - 4)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)} \cdot \frac{a - 4}{a - 4} + \frac{4}{(a - 5) (a - 4)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(a - 5) (a + 1) (a - 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{3 a}{(a - 5) (a + 1)}$ por $\frac{a - 4}{a - 4}$ .

$\frac{3 a (a - 4)}{(a - 5) (a + 1) (a - 4)} + \frac{4}{(a - 5) (a - 4)} \cdot \frac{a + 1}{a + 1}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{4}{(a - 5) (a - 4)}$ por $\frac{a + 1}{a + 1}$ .

$\frac{3 a (a - 4)}{(a - 5) (a + 1) (a - 4)} + \frac{4 (a + 1)}{(a - 5) (a - 4) (a + 1)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(a - 5) (a + 1) (a - 4)$ .

$\frac{3 a (a - 4)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)} + \frac{4 (a + 1)}{(a - 5) (a - 4) (a + 1)}$

Paso 4.4

Reordena los factores de $(a - 5) (a - 4) (a + 1)$ .

$\frac{3 a (a - 4)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)} + \frac{4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 a (a - 4) + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 a \cdot a + 3 a \cdot - 4 + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Paso 6.2

Multiplica $a$ por $a$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $a$ .

$\frac{3 (a \cdot a) + 3 a \cdot - 4 + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Paso 6.2.2

Multiplica $a$ por $a$ .

$\frac{3 a^{2} + 3 a \cdot - 4 + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Paso 6.3

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$\frac{3 a^{2} - 12 a + 4 (a + 1)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 a^{2} - 12 a + 4 a + 4 \cdot 1}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Paso 6.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{3 a^{2} - 12 a + 4 a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Paso 6.6

Suma $- 12 a$ y $4 a$ .

$\frac{3 a^{2} - 8 a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Paso 6.7

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.7.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 4 = 12$ y cuya suma es $b = - 8$ .

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Paso 6.7.1.1

Factoriza $- 8$ de $- 8 a$ .

$\frac{3 a^{2} - 8 (a) + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Paso 6.7.1.2

Reescribe $- 8$ como $- 2$ más $- 6$

$\frac{3 a^{2} + (- 2 - 6) a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Paso 6.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 a^{2} - 2 a - 6 a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Paso 6.7.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.7.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(3 a^{2} - 2 a) - 6 a + 4}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Paso 6.7.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{a (3 a - 2) - 2 (3 a - 2)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$

Paso 6.7.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 a - 2$ .

$\frac{(3 a - 2) (a - 2)}{(a + 1) (a - 4) (a - 5)}$